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大老李聊数学（全集）

大老李聊数学

以半专业的好奇心解读专业的数学知识，给您轻松愉快的收听体验，带来更多好玩有意思的数学内容。用收听的方式理解数学，跟您聊聊公理，悖论，数论，函数等各种数学相关话题。还会不定期汇报数学界最新成果和新闻。已有话题：三人切蛋糕问题，塑料常数，选择公理，第二次数学危机，不能证明的命题，卡拉比猜想。您的最佳数学厕所和睡前听物！

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10:46

S2E05. 两道“简单”概率题引发的思考

大老李聊数学（全集） ·

2018/05/13

大家好，我是大老李。今天聊个简单的话题，就是有关我不久前在节目里出过的两道概率题。你还没听过的话可以暂停先翻过去两集，听一下原题思考一下。这期节目我就跟大家聊聊这两道题，不是单纯说个答案，而是讲讲这两道题的有意思的地方和我的一些感想。第一道题是这样的：你有一个邻居，他有两个小孩。至少有一个是男孩，问两个都是男孩的概率？你的第一个感觉是1/2对不对？但正确答案是⅓。理由是两个小孩的组合有四种：男男，男女，女男，女女。现在知道至少一个男孩，那可以排除”女女”。剩下三种情况中只有一种是”男男”。所以概率是⅓。具体分析我们稍后再说，直接看第二题，第二题更诡异。第二题几乎与第一题一样：

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14:35

S2E04 - 从“帕里斯-哈林顿定理”到“不可证明性”的证明

大老李聊数学（全集） ·

2018/05/12

大家好，我是大老李。今天节目主题是“帕里斯-哈林顿”定理(Paris-Harrington)，这个定理是有关不可证明的命题的。说到不可证明的命题，大家第一感觉一定是连续统假设。那这个帕里斯哈-林顿定理为啥也重要呢？我们先要搞清楚什么是不可证明性。第一季节目里我有一期节目是哥德尔不完备性原理。我们简单复习一下。哥德尔的第一不完备原理是说对任何包含皮亚诺算术且可以公理化的理论，这个理论是不完全的。不完全的意思就是这个系统内存在既不能证明也不能证伪的命题。连续统假设就是这样一个命题。但这里面提到皮亚诺算术，这是什么东西呢？不久前的一期节目我们聊到过策梅洛-弗兰克尔的公理化集合论，简称ZFC系统。那套集合论其实是定义了一套有关集合的公理，使用这套公理，你可以知道哪些逻辑推理方法是可以用的。但是只有逻辑推理，没有推理的源头，还是推不出数学。加强的有穷拉姆齐定理：

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14:35

S2E04 - 从“帕里斯-哈林顿定理”到“不可证明性”的证明

大老李聊数学（全集） ·

2018/05/12

大家好，我是大老李。今天节目主题是“帕里斯-哈林顿”定理(Paris-Harrington)，这个定理是有关不可证明的命题的。说到不可证明的命题，大家第一感觉一定是连续统假设。那这个帕里斯哈-林顿定理为啥也重要呢？我们先要搞清楚什么是不可证明性。第一季节目里我有一期节目是哥德尔不完备性原理。我们简单复习一下。哥德尔的第一不完备原理是说对任何包含皮亚诺算术且可以公理化的理论，这个理论是不完全的。不完全的意思就是这个系统内存在既不能证明也不能证伪的命题。连续统假设就是这样一个命题。但这里面提到皮亚诺算术，这是什么东西呢？不久前的一期节目我们聊到过策梅洛-弗兰克尔的公理化集合论，简称ZFC系统。那套集合论其实是定义了一套有关集合的公理，使用这套公理，你可以知道哪些逻辑推理方法是可以用的。但是只有逻辑推理，没有推理的源头，还是推不出数学。加强的有穷拉姆齐定理：

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00:57

S2EX - 番外篇-两道概率题（节目预习题）

大老李聊数学（全集） ·

2018/05/12

请你思考一下以下两道概率题：1. 你有一个邻居，他有两个孩子，其中一个是男孩，问两个孩子都是男孩的概率是多少？2. 1. 你有一个邻居，他有两个孩子，其中一个是男孩且出生在星期二，问两个孩子都是男孩的概率是多少？请你自己思索下再搜答案。我会在不久之后的节目中跟大家探讨下这两道题。

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00:57

S2EX - 番外篇-两道概率题（节目预习题）

大老李聊数学（全集） ·

2018/05/12

请你思考一下以下两道概率题：1. 你有一个邻居，他有两个孩子，其中一个是男孩，问两个孩子都是男孩的概率是多少？2. 1. 你有一个邻居，他有两个孩子，其中一个是男孩且出生在星期二，问两个孩子都是男孩的概率是多少？请你自己思索下再搜答案。我会在不久之后的节目中跟大家探讨下这两道题。

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00:57

S2EX - 番外篇-两道概率题（节目预习题）

大老李聊数学（全集） ·

2018/05/12

请你思考一下以下两道概率题：1. 你有一个邻居，他有两个孩子，其中一个是男孩，问两个孩子都是男孩的概率是多少？2. 1. 你有一个邻居，他有两个孩子，其中一个是男孩且出生在星期二，问两个孩子都是男孩的概率是多少？请你自己思索下再搜答案。我会在不久之后的节目中跟大家探讨下这两道题。

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11:53

S2E03 - 一场由无穷小引发的危机

大老李聊数学（全集） ·

2018/05/12

大家好，我是大老李，今天的节目话题其实是来自“科学有故事”的主播汪诘老师。他最近在着手写一本有关数学的科普读物，他希望我解答一些他在写作中的遇到的难点问题，而我正好也在帮他解答的同时，也把这个解答作为节目介绍给大家。这次他提出的一个问题就是“第二次数学危机”是如何解决的？先解释下什么是第二次数学危机，其实三次数学危机并没有太官方的说法，只是大家都这么说。这第一次就是有关无理数的出现，第二次是微积分的基础危机，具体说就是关于无穷小的，第三次是罗素悖论引发的。这三次危机多少都是与“无穷”这个概念有关的，今天我们着重看看第二次，第二次危机的重点就是关于“无穷小”这个概念订阅“大老李聊数学公众号”

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11:53

S2E03 - 一场由无穷小引发的危机

大老李聊数学（全集） ·

2018/05/12

大家好，我是大老李，今天的节目话题其实是来自“科学有故事”的主播汪诘老师。他最近在着手写一本有关数学的科普读物，他希望我解答一些他在写作中的遇到的难点问题，而我正好也在帮他解答的同时，也把这个解答作为节目介绍给大家。这次他提出的一个问题就是“第二次数学危机”是如何解决的？先解释下什么是第二次数学危机，其实三次数学危机并没有太官方的说法，只是大家都这么说。这第一次就是有关无理数的出现，第二次是微积分的基础危机，具体说就是关于无穷小的，第三次是罗素悖论引发的。这三次危机多少都是与“无穷”这个概念有关的，今天我们着重看看第二次，第二次危机的重点就是关于“无穷小”这个概念订阅“大老李聊数学公众号”

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10:40

S2E02 - 跳不出草坪的蚱蜢--由贝尔不等式引发的趣题

大老李聊数学（全集） ·

2018/05/12

大家好，我是大老李，今天的话题来自去年年底有人的发表一篇论文，论文的标题就叫“蚱蜢问题”，The Grasshopper Problem. 这个论文提出了一个有趣的问题，说假设让你设计一个草坪的形状，草坪的总面积规定好了，比如是s，你有一个设计目标，就是假设有一个蚱蜢停留在你的草坪上一个随机位置，然后蚱蜢开始起跳，蚱蜢跳跃方向是随机的，但跳跃的距离是一个固定值，比如说d。然后你要设计你的草坪形状，使蚱蜢跳跃后停留在你的草坪上的概率最大。也就是你可以想象拿一只蚱蜢反复地随机放在你的草坪上某个位置，然后让它随便跳一次，距离是固定的。然后统计蚱蜢跳跃后仍然停留在你的草坪上的概率。你的目标就是在草坪总面积固定的情况下，让这个蚱蜢停留在你的草坪上的概率最大。另外要说明的是，你的草坪的形状并不需要是连续的，可以是分成几块的。蚱蜢跳跃距离0-1时，草坪最佳形状的四种类型：蚱蜢跳跃距离0.27时，计算机模拟草坪形状的变化过程中间图(经测试，目前不支持GIF动图:( 订阅大老李聊数学公众号：

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10:40

S2E02 - 跳不出草坪的蚱蜢--由贝尔不等式引发的趣题

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2018/05/12

大家好，我是大老李，今天的话题来自去年年底有人的发表一篇论文，论文的标题就叫“蚱蜢问题”，The Grasshopper Problem. 这个论文提出了一个有趣的问题，说假设让你设计一个草坪的形状，草坪的总面积规定好了，比如是s，你有一个设计目标，就是假设有一个蚱蜢停留在你的草坪上一个随机位置，然后蚱蜢开始起跳，蚱蜢跳跃方向是随机的，但跳跃的距离是一个固定值，比如说d。然后你要设计你的草坪形状，使蚱蜢跳跃后停留在你的草坪上的概率最大。也就是你可以想象拿一只蚱蜢反复地随机放在你的草坪上某个位置，然后让它随便跳一次，距离是固定的。然后统计蚱蜢跳跃后仍然停留在你的草坪上的概率。你的目标就是在草坪总面积固定的情况下，让这个蚱蜢停留在你的草坪上的概率最大。另外要说明的是，你的草坪的形状并不需要是连续的，可以是分成几块的。蚱蜢跳跃距离0-1时，草坪最佳形状的四种类型：蚱蜢跳跃距离0.27时，计算机模拟草坪形状的变化过程中间图(经测试，目前不支持GIF动图:( 订阅大老李聊数学公众号：

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18:12

S2E01 - 选还是不选? - 选择公理之争

大老李聊数学（全集） ·

2018/05/12

要讲选择公理，就不得不先讲一下所谓数学的第三次危机，也就是由著名的罗素悖论引发的一场危机。简单回溯一下历史，那是在19世纪后半页，数学家们开始逐渐意识到数学的理论基础是不完善的，需要重新构建数学的基础，就像欧几里得几何一样。欧式几何，通过5条简短的公理就能推导出一整套数量庞大且堪称完美的几何定理和结论。所以数学家希望对代数学也建立这样一套公理系统，更重要的是逻辑推理的规则系统。而恰好康托对无穷集合有了很多研究，数学家发现用集合概念来建立数学基础也许是合适，因为集合的概念确实足够简单和平凡，而且看上去所有数学研究对象都可以用集合来描述出来，所以人们就希望用集合论来建立一套基础。...... 在研究连续统假设过程中，康托他发现他很需要一个称为“良序原理”的东西。优良的良，秩序的序，意思就是良好的秩序。康托发现，如果一个集合天然有一个“最小”元素，无论以何种方式定义大或小，只要能找到这个最小元素，那这个集合就可以被称为良序的。康托希望所有非空集合都是良序的，但是显然你没法把它作为公理，因为这个命题距离”显而易见”，”不证自明”，是有明显距离的。

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18:12

S2E01 - 选还是不选? - 选择公理之争

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2018/05/12

要讲选择公理，就不得不先讲一下所谓数学的第三次危机，也就是由著名的罗素悖论引发的一场危机。简单回溯一下历史，那是在19世纪后半页，数学家们开始逐渐意识到数学的理论基础是不完善的，需要重新构建数学的基础，就像欧几里得几何一样。欧式几何，通过5条简短的公理就能推导出一整套数量庞大且堪称完美的几何定理和结论。所以数学家希望对代数学也建立这样一套公理系统，更重要的是逻辑推理的规则系统。而恰好康托对无穷集合有了很多研究，数学家发现用集合概念来建立数学基础也许是合适，因为集合的概念确实足够简单和平凡，而且看上去所有数学研究对象都可以用集合来描述出来，所以人们就希望用集合论来建立一套基础。...... 在研究连续统假设过程中，康托他发现他很需要一个称为“良序原理”的东西。优良的良，秩序的序，意思就是良好的秩序。康托发现，如果一个集合天然有一个“最小”元素，无论以何种方式定义大或小，只要能找到这个最小元素，那这个集合就可以被称为良序的。康托希望所有非空集合都是良序的，但是显然你没法把它作为公理，因为这个命题距离”显而易见”，”不证自明”，是有明显距离的。

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08:02

35. 学数学有什么用--第一季结束语

大老李聊数学（全集） ·

2018/01/22

大家好，我是大老李，今天是“大老李聊数学”第一季的最后一集。我要休息一下也充电一下，预计在三月左右，以更好的状态给大家呈现更好的第二季。在这一年多的时间里，我制作了三十多集节目，订阅数突破了五千，也算小有成果。在此感谢所有支持过我，关注我的听众。您的每一次点赞，打赏，评论，都是对我的莫大鼓励。今天借这期节目，准备回答某个听众问我的问题，就是学数学有什么用？特别的是他还提出了两个具体的问题，就是研究费马定理有什么用，黎曼假设有什么用？虽然如果你让我用最简单的回答的话，我觉得以上所有问题回答“好玩”两个字就够了。但是学数学意义远不止好玩二字，它当然还是有用的。(“每周一题”将在公众号中更新，请扫描以下二维码关注) 关注“大老李聊数学”公众号

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35. 学数学有什么用--第一季结束语

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2018/01/22

大家好，我是大老李，今天是“大老李聊数学”第一季的最后一集。我要休息一下也充电一下，预计在三月左右，以更好的状态给大家呈现更好的第二季。在这一年多的时间里，我制作了三十多集节目，订阅数突破了五千，也算小有成果。在此感谢所有支持过我，关注我的听众。您的每一次点赞，打赏，评论，都是对我的莫大鼓励。今天借这期节目，准备回答某个听众问我的问题，就是学数学有什么用？特别的是他还提出了两个具体的问题，就是研究费马定理有什么用，黎曼假设有什么用？虽然如果你让我用最简单的回答的话，我觉得以上所有问题回答“好玩”两个字就够了。但是学数学意义远不止好玩二字，它当然还是有用的。(“每周一题”将在公众号中更新，请扫描以下二维码关注) 关注“大老李聊数学”公众号

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10:03

34. 基因的奇妙平衡--哈代温伯格定律的发现

大老李聊数学（全集） ·

2018/01/01

大家好，我是大老李，今天的节目还是接上期的话题，上期结束我提出了一个有关基因的问题，我们来回顾下：假设我们知道单双眼皮是一对等位基因控制的，且双眼皮是显性基因，用字母A来表示。如果现在人群中两个大A的双眼皮的人比例是50%，一个大A一个小a，表现为双眼皮的人是20%的比例，剩下30%是单眼皮。问他们的子代里，各类基因组合比例如何？他们的孙代又会如何？基因计算“九宫格”：哈代的信件："我怀着忐忑的心情给与您唐突的讨论一个我并不擅长的领域里的问题。这是一个我认为非常简单的结论，而且看上去应该是生物学同行们熟悉的。但是普内特先生给我看了安迪尤尔先生的一些评论后，让我有了主意，使我觉得我发表一下我的发现还是值得的...假设大A和小a是一对孟德尔等位基因，大A是显性，小a是隐形，且AA:Aa:aa=p:2q:r。假设生物群体足够大，且遵循完全随机的配对原则，也就是交配是完全随机且繁育能力均等的前提下，一些简单的数学乘法表可以告诉我们下一代的基因比例是(p+q)^2:2(p+q)(q+r):(q+r)^2, 或者记为

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34. 基因的奇妙平衡--哈代温伯格定律的发现

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2018/01/01

大家好，我是大老李，今天的节目还是接上期的话题，上期结束我提出了一个有关基因的问题，我们来回顾下：假设我们知道单双眼皮是一对等位基因控制的，且双眼皮是显性基因，用字母A来表示。如果现在人群中两个大A的双眼皮的人比例是50%，一个大A一个小a，表现为双眼皮的人是20%的比例，剩下30%是单眼皮。问他们的子代里，各类基因组合比例如何？他们的孙代又会如何？基因计算“九宫格”：哈代的信件："我怀着忐忑的心情给与您唐突的讨论一个我并不擅长的领域里的问题。这是一个我认为非常简单的结论，而且看上去应该是生物学同行们熟悉的。但是普内特先生给我看了安迪尤尔先生的一些评论后，让我有了主意，使我觉得我发表一下我的发现还是值得的...假设大A和小a是一对孟德尔等位基因，大A是显性，小a是隐形，且AA:Aa:aa=p:2q:r。假设生物群体足够大，且遵循完全随机的配对原则，也就是交配是完全随机且繁育能力均等的前提下，一些简单的数学乘法表可以告诉我们下一代的基因比例是(p+q)^2:2(p+q)(q+r):(q+r)^2, 或者记为

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10:06

33. 如何设计奖惩制度--博弈论的困境

大老李聊数学（全集） ·

2017/12/26

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33. 如何设计奖惩制度--博弈论的困境

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2017/12/26

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10:01

32. 看似公平的猜拳游戏--有关博弈论和纳什均衡

大老李聊数学（全集） ·

2017/12/18

有这么一个猜拳游戏，猜拳的双方姑且叫他们“小单”和“小双”，单数和双数的单双。猜拳时只能出两种手势，就是出一个大拇指，表示一，或者出四个手指，表示四。然后把双发的手势数字加起来，单数时小单赢，双数时，小双赢。而且赢得分数就是双方手势数字之和。比如一个人出了1，另一个出了4，那么加起来是5，那小单赢了5分。如果两个人都出了1，那么加起来是2，是双数，那么小双赢了2分。现在的问题就是这个游戏是公平的游戏吗？该游戏的纳什均衡点在小单以13/20的概率出1，7/20的概率出4，如此的话，小单平均每局可赢0.45分。计算过程如下：设小单出1的概率是p，小双出1的概率是q。则小单每局的得分期望值是：–2pq+5(1 –p)q+5p(1 –q)–8(1–p)(1–q)=13p+13q–20pq–8现在的目标是无论q是多少，确定一个最佳的p值，则可将q作为变量，p作为常量，将上式化为：q(13–20p)–(8–13p)则可注意到当13-20p=0时，上式将不依赖于q。则可解得p=13/20时，上式值为0.45。即为纳什均衡点时，小单的单局得分期望值。

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32. 看似公平的猜拳游戏--有关博弈论和纳什均衡

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2017/12/18

有这么一个猜拳游戏，猜拳的双方姑且叫他们“小单”和“小双”，单数和双数的单双。猜拳时只能出两种手势，就是出一个大拇指，表示一，或者出四个手指，表示四。然后把双发的手势数字加起来，单数时小单赢，双数时，小双赢。而且赢得分数就是双方手势数字之和。比如一个人出了1，另一个出了4，那么加起来是5，那小单赢了5分。如果两个人都出了1，那么加起来是2，是双数，那么小双赢了2分。现在的问题就是这个游戏是公平的游戏吗？该游戏的纳什均衡点在小单以13/20的概率出1，7/20的概率出4，如此的话，小单平均每局可赢0.45分。计算过程如下：设小单出1的概率是p，小双出1的概率是q。则小单每局的得分期望值是：–2pq+5(1 –p)q+5p(1 –q)–8(1–p)(1–q)=13p+13q–20pq–8现在的目标是无论q是多少，确定一个最佳的p值，则可将q作为变量，p作为常量，将上式化为：q(13–20p)–(8–13p)则可注意到当13-20p=0时，上式将不依赖于q。则可解得p=13/20时，上式值为0.45。即为纳什均衡点时，小单的单局得分期望值。

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