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Einführung in die Stochastik für Studierende des gymnasialen Lehramts Mathematik, SS2015, Vorlesung

Karlsruher Institut für Technologie (KIT)

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Einführung in die Stochastik für Studierende des...

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2015/11/27

01: Vorlesung |00:01:45 Grundraum 00:07:34 Ereignis 00:11:55 Mengentheoretische Verknüpfungen von Ereignissen 00:28:58 Zufallsvariablen 00:52:42 Indikatorvariablen 01:04:44 Zählvariablen, Indikatorsummen

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01: Vorlesung | 00:00:08 relative Häufigkeiten 00:07:04 diskreter Wahrscheinlichkeitsraum (vorläufig) 00:12:25 Folgerungen aus den Axoimen 00:29:48 Formel des Ein- und Ausschließens 00:39:52 Wahrscheinlichkeitsfunktion, Zähldichte 00:49:29 endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum 00:58:56 diskreter Wahrscheinlichkeitsraum (endgültig) 01:02:48 Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen 01:19:03 Kombinatorik (Beispiel) 01:22:03 Fundamenalprinzipien des Zählens

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03: Vorlesung | 00:05:40 Permutationen 00:09:11 Kombinationen 00:12:53 Grundformeln der Kombinatorik 00:25:10 Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten (begrifflicher Beweis) 00:27:06 binomischer Lehrsatz (begrifflicher Beweis) 00:29:12 Zwillinge beim Lotto 00:35:19 Verteilungen beim Skatspiel 00:47:07 Stimmzettelproblem 01:01:27 Urnen- und Fächermodelle 01:14:31 Fächermodelle in der Physik 01:16:05 Begriffliche Gleichwertigkeit von Urnen- und Fächermodellen 01:20:26 Paradoxon der ersten

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04: Vorlesung | 00:00:07 Kollisionsproblem 00:14:00 Erwartungswert: Motivation 00:18:32 Erwartungswert: Definition 00:24:50 Erwartungswert: Strukturelle Eigenschaften (Rechenregeln) 00:31:30 Erwartungswert einer Indikatorfunktion, Dreiecksungleichung 00:37:07 Erwartungswert einer Zählvariablen 00:39:17 Erwartungswert der Anzahl der Rekorde in einer zufälligen Permutation 00:48:50 Erwartungswert: Transformationsformel 00:55:44 Erwartungswert der diskreten Gleichverteilung 00:59:00 Erwartungswert:

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05: Vorlesung | 00:00:07 Schnur-Orakel 00:10:27 Binomialverteilung im Urnenmodell 00:25:00 Hypergeometrische Verteilung 00:41:24 Modellierung mehrstufiger Experimente 00:53:53 Startverteilung, Übergangswahrscheinlichkeiten 01:04:20 Pólyasches Urnenschema 01:19:54 Pólya-Verteilung

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06: Vorlesung | 00:00:01 Produktexperimente, Markov-Ketten 00:16:02 Bedingte W'en (Motivierung mit relativen Häufigkeiten) 00:19:02 Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit 00:24:53 Bedingte Verteilung als Wahrscheinlichkeitsmaß 00:29:10 Zusammenhang zwischen bedingten Wahrscheinlichkeiten und Übergangswahrscheinlichkeiten 00:35:07 Multiplikationsformel 00:41:43 Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit, Bayes-Formel 00:50:36 Beispiel (Drei-Türen-Problem) 00:55:56 Beispiel (Test auf eine

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07: Vorlesung | 00:00:06 Einführende Betrachtungen 00:05:26 Definition der Unabhängigkeit von n Ereignissen 00:07:23 Unabhängigkeit von 3 Ereignissen 00:09:25 Wichtige Punkte im Zusammenhang mit Unabhängigkeit 00:14:26 Unabhängigkeit und Komplementbildung 00:20:38 Unabhängigkeit und Produktexperimente 00:33:04 Blockungslemma 00:47:00 Erzeugungsweise der Binomialverteilung 00:52:30 Bernoulli-Kette 00:56:18 Gruppenscreening 01:08:34 Zwei-Finger-Morra

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08: Vorlesung | 00:00:07 Unabhängigkeit und Gerichts-Fehlurteile (der Fall Sally Clark) 00:04:29 Zufallsvektoren (Beispiel, Augenzahl des ersten Wurfs und Maximum der Augenzahlen beo 2-fachen Würfelwurf) 00:16:06 Definition (Zufallsvektor, gemeinsame Verteilung, Marginalverteilung) 00:22:18 Schreibweisen 00:28:15 Bestimmung der Marginalverteilungen aus der gemeinsamen Verteilung 00:33:48 Marginalverteilungen bestimmen im Allg. nicht die gemeinsame Verteilung 00:38:13 Unabhängigkeit von

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09: Vorlesung | 00:01:41 Additionsgesetz für die Binomialverteilung 00:08:05 Varianz und Standardabweichung 00:18:10 Darstellungsformel für die Varianz 00:23:36 Varianz der Gleichverteilung auf 1,...,k 00:25:10 Deutung der Varianz als Trägheitsmoment 00:28:45 Elementare Eigenschaften der Varianz 00:43:12 Minimaleigenschaft des Erwartungswertes 00:44:23 Varianz einer Indikatorsumme 00:51:56 Beispiel (Polya-Verteilung, Binomialverteilung, hypergeometrische Verteilung) 00:56:02 Beispiel (Anzahl der

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10: Vorlesung | 00:00:06 Wiederholung Varianz, Kovarianz 00:11:33 Darstellungsformel für die Kovarianz 00:15:35 Beispiel 00:19:03 Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung zwischen Y und a+bX als Funktion von a und b 00:31:40 Methode der kleinsten Quadrate, empirische Regressionsgerade 00:37:27 Pearson-Korrelationskoeffizient 00:39:12 Cauchy-Schwarz-Ungleichung 00:43:35 Beispiel (Punktwolken mit empirischen Korrelationskoeffizienten) 00:46:42 Simpson-Paradoxon für Korrelationen 00:48:50

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11: Vorlesung | 00:00:01 Wiederholung Multinomialverteilung 00:03:18 Multinomialverteilung und Vergröberung (Zusammenfassen von Trefferarten) 00:08:05 Multinomialverteilung: Kovarianz und Korrelation 00:12:26 Beispiel (Vererbung) 00:15:40 mehrdimensionale hypergeometrische Verteilung 00:20:04 geometrische Verteilung als Verteilung der Anzahl der Nieten vor dem ersten Treffer in einer Bernoulli-Kette 00:23:07 geometrische Verteilung: Definition, Erwartungswert, Varianz 00:36:06 Beispiel

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12: Vorlesung | 00:00:01 Wiederholung geometrischeVerteilung / negative Binomialverteilung 00:03:10 Sammelbilderproblem: Einführung 00:07:20 Sammelbilderproblem: Mathematische Modellierung 00:14:59 Sammelbilderproblem: Herleitung der Veteilung der Besetzungsvorgänge bis zur vollständigen Serie 00:20:57 Sammelbilderproblem: Verteilung und Erwartungswert der Besetzungsvorgänge bis zur vollständigen Serie 00:26:35 Sammelbilderproblem: Stabdiagramme 00:29:57 Sammelbilderproblem: Grenzverteilung der

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13: Vorlesung | 00:00:07 Wiederholung: Gesetz seltener Ereignisse, Poisson-Verteilung, bedingter Erwartungwert 00:05:02 Bedingter Erwartungswert: Strukturelle Eigenschaften 00:11:05 Bedingter Erwartungswert: Beste Prognose im Sinne der mittleren quadratischen Abweichung 00:18:27 Satz (bedingter Erwartungswert als beste Vorhersage) 00:29:47 Bedingte Erwartung: Definition 00:33:59 Bedingte Erwartung: Beispiel 00:41:58 Formel vom totalen Erwartungswert 00:46:40 Iterierte Erwartungswertbildung 00:48:14

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14: Vorlesung | 00:00:07 Wiederholung (Formel vom totalen Erwartungswert, bedingte Verteilung) 00:05:46 Bedingte Verteilung: Beispiel (Multinomialverteilung bei gegebener Trefferanzahl einer bestimmten Art) 00:14:30 Bedingte Verteilung: Beispiel (Gleichverteilung und geometrische Verteilung) 00:17:34 Das Briefumschlag-Paradoxon 00:21:10 Erzeugende Funktion einer Zahlenfolge 00:27:27 Beispiel: Fibonacci-Zahlen 00:32:50 Erzeugende Funktion einer nichtnegativen ganzzahligen Zufallsvariablen 00:36:30

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15: Vorlesung | 00:00:07 Wiederhoung: Erzeugende Funktionen 00:04:50 Randomisierte Summen 00:09:55 Erzeugende Funktion einer randomisierten Summe 00:20:28 Beispiel: Radioaktives Präparat 00:25:21 Der (einfache) Galton-Watson-Prozess 00:39:08 Galton-Watson-Prozess: Aussterbewahrscheinlichkeit 00:53:21 Beispiel: geometrische Reproduktionsverteilung 00:57:17 Grenzwertsätze (Einführung) 01:02:00 Das schwache Gesetz großer Zahlen 01:07:28 Schwaches Gesetz großer Zahlen: Simulation 01:09:42 Schwaches

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16: Vorlesung | 00:00:07 Wiederholung: Schwaches Gesetz großer Zahlen, stochastische Konvergenz 00:04:22 Stochastische Konvergenz und Erwartungswerte 00:08:41 Stochastische Konvergenz und stetige Abbildungen 00:15:21 Zentraler Grenzwertsatz (Einstimmung mit Histogrammen) 00:19:13 Histogramme standardisierter Normalverteilungen 00:22:09 Dichte der Standardnormalverteilung 00:24:46 Verschmierung von Punktmassen mithilfe von Dreiecksflächen am Beispiel der Poisson-Verteilung 00:32:27 Hilfssatz

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17: Vorlesung | 00:00:07 Pseudozufallszahlen und Simulation (Einführung) 00:06:15 der lineare Kongruenzgenerator 00:08:07 Beispiel (linearer Kongruenzgenerator) 00:12:41 Gitterstruktur linearer Kongruenzgeneratoren 00:15:53 Simulation von Zufallsexperimenten 00:19:28 Beispiel ("Würfeln mit MAPLE") 00:22:07 Deskriptive Statistik (einführende Betrachtungen) 00:28:05 Untersuchungseinheiten und Merkmale 00:37:42 Grundgesamtheit und Stichprobe 00:42:55 Empirische Häufigkeitsverteilungen, Stab-

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18: Vorlesung | 00:00:07 Streuungsmaße 00:02:58 empirische Varianz und Standardabweichung 00:08:50 mittlere absoute Abweichung 00:09:25 Stichprobenspannweite 00:09:53 Quartilsabstand 00:10:40 Median-Abweichung 00:12:28 Variationskoeffizient 00:14:20 Box-Plot 00:19:30 Streudiagramm, empirische Regressionsgerade 00:22:35 Methode der kleinsten Quadrate 00:24:18 Geometrisches Mittel 00:26:45 Harmonisches Mittel 00:30:07 Punktschätzung (einführende Betrachtungen) 00:36:49 Beispiel (Schätzung einer

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19: Vorlesung | 00:00:07 Wiederholung: Allgemeiner Modellrahmen 00:03:44 Definition: (Punkt-)Schätzer 00:06:04 Beispiel: Binomialfall 00:07:59 Stichprobenfunktion, Statistik, Verteilung eines Schätzers 00:14:14 Definition: mittlere quadratische Abweichung, Verzerrung, Erwartungstreue 00:25:19 Beispiel: Binomialfall 00:28:22 Maximum-Likelihood-Schätzung 00:32:47 Beispiel: Statistische Qualitätskontrolle 00:46:02 Loglikelihood-Funktion 00:49:13 Maximum-Likelihood-Schätzung bei geometrischer

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20: Vorlesung | 00:00:07 Wiederholung Konfidenzbreiche 00:06:36 Allgemeines Konstruktionsprinzip für Konfidenzbereiche 00:11:41 Beispiel: Herleitung der (Clopper-Pearson)-Konfidenzbereiche für das p der Binomialverteilung 00:33:23 Tabelle mit konkreten Konfidenzgrenzen 00:37:04 Veranschaulichung der Fluktuation konkreter Konfidenzintervalle 00:39:16 Binomialverteilung: Einseitige Konfidenzintervalle 00:46:29 Konfidenzintervalle für der Parameter der Poisson-Verteilung 00:52:47 Asymptotischer

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